Das können auch öffentliche Schulen sein - Hier in Nelson z.B. bietet das glaube ich jede Schule an, die privaten wie die öffentlichen.
Meine Schule kümmert sich hier wirklich um alles, die Gastfamilien werden gesucht und überprüft, wenn du wechseln möchtest ist das kein Problem und es gibt immer jemanden, der dir hilft.
Die Kosten liegen bei ca. 2500-3000 $ pro Term (das Schuljahr ist in 4 Terms eingeteilt, aber das weißt du ja sicher) für die Schule + die Homestaygebühren, die je nach Ortsgröße variieren. Hier sind es 175 $ die Woche (!), in Städten wie Auckland sind es z.B. 200 $.
Macht bei 3 Monaten pro Term also ca. 2500 $, alles zusammen kommst du also auf ca. 5000 $ pro Term, zusätzlich kommt noch Versicherung (ca. 100 $) und Visum hinzu, an meiner Schule zusätzlich noch die Counselling Gebühr (eine Person mit der du dich 2mal pro Term mind. triffst und die dich fragt ob alles OK ist, die zudem bei Problemen immer für dich da ist - diese Frau macht nichts anderes als das

), die ca. 150$ pro Term beträgt glaube ich.
Das war natürlich nur ein Beispiel anhand meiner Schule (habe nach 2 Monaten Aufenthalt mit meiner Organisation auf 7 Monate verlängert, allerdings ohne Organisation weil der Service hier wirklich gut ist).
Das variiert sicherlich, das beste ist einfach bei den Schulen anzufragen. Ist jedenfalls idr. immernoch deutlich billiger als mit Organisation und die Schule hilft dir oft auch bei der Organisation des Aufenthalts. Bei meiner Organisation hätte ich nämlich glatte 1000 Euro mehr bezahlt pro Term, das ganze habe ich dann in eine Urlaubstour investiert
Falls du weitere Fragen hast, stell sie einfach, das war nur so ein grober Überblick.